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AI Learning/结构估计/模块 6A

模块 6A

logit 结构模型的推导与估计

本章以模块 6 的农机服务采纳模型为例，依次讨论模型的经济含义、logit 选择概率的推导、似然函数的计算、Newton 迭代、参数识别、估计结果的解释、经济量的计算、模型拟合、反事实分析和蒙特卡洛检验。文中数值均为配套程序的实际输出。

本章内容

6A.1–6A.2 模型净收益、效用差与 logit 概率

6A.3–6A.4 估计似然函数与 Newton 迭代

6A.5–6A.7 识别与解释代金券的作用、估计结果与经济量

6A.8–6A.10 检验与应用模型拟合、补贴反事实与蒙特卡洛检验

数据说明：本章使用模拟数据 mechanization_sim.csv（700 户，代金券随机分配），其数据生成过程和随机数种子与模块 6 的 Python 程序相同。“真值”是模拟时设定的参数，只用于检验估计方法，不是对真实农户的估计。

6A.1

模型的经济含义

农户在购买农机服务与自己作业（或雇工）之间选择。购买服务可以节省劳动、保证农时，但需要付费并承担联系服务的成本。两者之差为购买的净收益；净收益大于零时，农户购买服务。

可观测因素

价格、地块规模、距离、服务质量

这些变量可由调查数据观测，构成净收益中可解释的部分。

不可观测因素

偏好、当天是否忙、与机手的交情

研究者观测不到这些因素，将其视为随机项。因此，可观测条件相同的两户可能作出不同的选择。

观测到的结果

是否购买

数据中只有选择结果，没有净收益本身。结构估计的任务是由选择结果推断净收益中各因素的权重。

与回归的区别：回归描述价格与购买之间的统计关系；结构模型还要设定农户按什么规则选择才会产生观测到的数据。只有设定了决策规则，才能在未曾实施的政策下计算农户的选择。

6A.2

选择概率的推导

净收益的分解

Δ U_{i} = V_{i} : 研究者能算的部分 β_{0} + α p_{i} + β ln (1 + land_{i}) + γ dist_{i} + δ qual_{i} + ε_{i}, 买 ⟺ Δ U_{i} > 0

$p_{i}$ 是扣除代金券后的净价格。 $α, β, γ, δ$ 是行为参数；规模、距离和价格是农户的状态变量或政策变量，不是参数。

随机项的分布与选择概率

P (买_{i} = 1) = P (ε_{i} > - V_{i}) = F (V_{i})

若 $ε_{i}$ 服从标准 logistic 分布（等价于“买”和“不买”两个选项各带一个独立的 I 型极值误差，二者之差就是 logistic），则 $F$ 有闭式解：

P_{i} = Λ (V_{i}) = \frac{e ^{V_{i}}}{1 + e ^{V_{i}}} = \frac{1}{1 + e ^{- V_{i}}}

这条 S 形曲线把任意实数 $V_{i}$ 压到 0–1 之间： $V_{i} = 0$ 时概率 0.5； $V_{i} = - 1.5$ 时约 0.18； $V_{i} = + 1.5$ 时约 0.82。

两项归一化

位置不识别

给“买”和“不买”的效用同时加 10，选择不变。所以只能识别效用差，“不买”的效用被归一化为 0。

尺度不识别

把所有效用乘以 2，排序不变。logit 把 $ε$ 的方差固定为 $π^{2} /3$ ，所以 $α$ 的单位是“相对于随机项标准差”。系数的比值（如 $γ / α$ ）和概率才有不依赖尺度的含义。

6A.3

似然函数的计算

似然函数是给定参数时观测到的选择出现的概率。买了的农户贡献 $ln P_{i}$ ，没买的贡献 $ln (1 - P_{i})$ ：

ℓ (θ) = i = 1 \sum N [y_{i} ln Λ (V_{i}) + (1 - y_{i}) ln (1 - Λ (V_{i}))]

数据前三户都没有购买（ $y = 0$ ）。比较两组候选参数：

前三户在两组参数下的对数似然贡献（代码 STEP 1 输出）
农户	y	θ_A=全 0：V	P(买)	贡献	θ_B=真值：V	P(买)	贡献
1	0	0.000	0.500	−0.693	−1.251	0.222	−0.252
2	0	0.000	0.500	−0.693	−0.957	0.277	−0.325
3	0	0.000	0.500	−0.693	−1.570	0.172	−0.189
三户合计		−2.079			−0.766
全样本 700 户		−485.203			−300.946

手算第 1 户（θ_B）： $P = 1/ (1 + e^{1.251}) = 0.222$ ，没买，所以贡献 $ln (1 - 0.222) = - 0.252$ 。θ_B 下该户购买的概率较低，与观测结果一致，因此其对数似然贡献的绝对值较小。

说明：离散选择模型的对数似然值为负，越接近 0 表示参数对数据的解释越好。最大似然估计量是使对数似然函数取最大值的 θ。

6A.4

Newton 迭代

对 $ℓ (θ)$ 求一阶和二阶导数，分别得到 score（梯度）和 Hessian 矩阵：

s (θ) = i \sum (y_{i} - Λ (V_{i})) x_{i}, H (θ) = - i \sum Λ (V_{i}) (1 - Λ (V_{i})) x_{i} x_{i}^{'}, θ^{(k + 1)} = θ^{(k)} + [- H]^{- 1} s

score 等于预测误差 $y_{i} - P_{i}$ 乘以特征。若高价农户实际买得比预测多，score 会推动 $α$ 的估计值增大（绝对值减小）。在最大值处，各特征与预测误差的乘积之和均为零，即一阶条件。

从 θ=0 出发的 Newton 迭代（代码 STEP 2 输出）
迭代	1	2	3	4	5	6
ℓ(θ)	−309.320	−299.431	−298.934	−298.932	−298.932	−298.932
max\|Δθ\|	0.885	0.665	0.227	0.017	7.9e−5	1.7e−9

logit 模型的对数似然函数是凹函数，最大值唯一，因此迭代几步即收敛。更复杂的结构模型的目标函数可能有多个局部极值，需要用不同初值重复估计（见模块 3 和模块 4）。

6A.5

价格系数的识别：随机代金券

如果服务好的机手要价也高，而研究者看不到服务好坏 $ξ$ ，那么“高价”与“受欢迎”会一起出现，直接回归会把质量的作用算到价格头上。代金券随机发放，让同一标价下的农户面对不同净价格，这部分价格变化与 $ξ$ 无关。

另一份模拟数据（N=5000，价格与未观测质量正相关）：真 α = −1.40（代码 STEP 8）
估计方式	α̂	说明
只含净价格的 logit	+0.462	符号为正，与需求规律相反
控制标价，只利用代金券造成的净价格差异	−1.355（SE 0.199）	与真值相差不到一个标准误
把 ξ 作为解释变量（不可行估计）	−1.470	实际数据中 ξ 不可观测，仅作对照

识别与数值优化：第一行的估计同样收敛，标准误也很小，但估计值有严重偏误。识别问题不能通过数值优化解决。对每个参数都应说明它由数据中的哪种变化决定，以及这种变化为何是外生的。

6A.6

估计结果的解释

700 户模拟数据的 MLE 结果（Python、R glm、R optim 三种实现一致到小数点后三位）
参数	估计值	SE	z	p	95% CI	真值
常数 β₀	0.100	0.604	0.17	0.868	[−1.083, 1.283]	−0.80
净价格 α	−1.795	0.382	−4.70	<0.001	[−2.544, −1.045]	−1.40
ln(1+规模) β	0.822	0.329	2.50	0.013	[0.177, 1.467]	0.75
距离 γ	−0.256	0.062	−4.12	<0.001	[−0.378, −0.134]	−0.18
质量 δ	0.393	0.511	0.77	0.441	[−0.608, 1.394]	0.90

估计值：各变量在效用差中的系数。α = −1.795 表示净价格提高 1 个单位，购买的效用差下降 1.795（以随机项尺度计），而不是购买概率下降 1.795。

SE 与 CI：来自信息矩阵

[- H (\hat{θ})]^{- 1}

的对角线。五个真值都在 95% 置信区间内，即估计值与真值的差异在抽样误差范围内。

不显著与无影响：质量的真值为 0.90，但购买的农户只占 17%，质量的变化幅度也小，700 户的样本不足以将其与 0 区分。这是估计精度的问题，并非参数不可识别。

整体指标：ℓ(θ̂) = −298.932，仅截距模型 −323.832；LR = 49.80（df=4，p≈4×10⁻¹⁰）。McFadden 伪 R² = 0.077，这在离散选择模型中是常见的数值；它既不说明拟合差，也不是一种检验。

6A.7

经济量的计算

AME_{p} = \frac{1}{N} i \sum \overset{α}{^} \hat{P}_{i} (1 - \hat{P}_{i}), 弹性_{i} = \overset{α}{^} p_{i} (1 - \hat{P}_{i}), 距离的价格等价 = \frac{γ ^}{α ^}

代码 STEP 3/4 输出
经济量	数值	含义
净价格平均边际效应	−0.240	净价格每升 0.1 个单位，购买概率平均约降 2.4 个百分点
平均价格弹性	−1.646	净价格升 1%，购买概率约降 1.6%（相对于自身水平）
距离的价格等价 γ/α	0.143（delta-method SE 0.045）	距离增加 1 公里对效用的影响，相当于价格上涨 0.143 个单位；该比值与 logit 的尺度无关
胜算比	exp(0.1α) = 0.836	净价格升 0.1 个单位，购买胜算乘以 0.836

价格单位沿用原教学数据的设定（标价在 0.8–1.8 之间），没有对应真实货币单位；用于真实数据时应换成“元/亩”等明确单位。

6A.8

模型拟合

按净价格四分位
组	观测	预测
Q1 最便宜	0.274	0.272
Q2	0.177	0.190
Q3	0.171	0.153
Q4 最贵	0.074	0.083

按距离三等分
组	观测	预测
近	0.235	0.250
中	0.185	0.168
远	0.103	0.105

两张表中预测值与观测值之差都在几个百分点以内。应注意，含常数项的 logit 模型的总体预测采纳率必然等于观测值（都是 0.174），因此报告总体平均值没有意义，需要分组比较。更严格的检验是用留出样本或实验组作样本外预测（见模块 2 和模块 5 的 PROGRESA 例子）。

6A.9

反事实分析：以普惠价格补贴替代代金券

\hat{P}_{i} (s) = Λ (\hat{β}_{0} + \overset{α}{^} 新净价格 标价_{i} (1 - s) + \hat{β} ln (1 + land_{i}) + \overset{γ}{^} dist_{i} + \hat{δ} qual_{i}), 采纳率 (s) = \frac{1}{N} i \sum \hat{P}_{i} (s)

反事实采纳率与每户预期财政成本（代码 STEP 6；95% 区间来自 2000 次 Krinsky–Robb 参数抽样）
补贴率 s	采纳率	95% 区间	每户财政成本	每新增 1 户采纳的成本
0%	0.128	[0.106, 0.160]	0.000	—
10%	0.153	[0.130, 0.183]	0.018	0.741
20%	0.181	[0.156, 0.212]	0.043	0.822
30%	0.214	[0.182, 0.252]	0.078	0.910
50%	0.293	[0.233, 0.363]	0.182	1.104

基准：s=0 表示取消代金券、所有农户按标价付费，此时采纳率为 0.128；现行政策（一半农户持 30% 的代金券）下采纳率为 0.174。比较政策时应先说明基准。

边际成本递增：每多吸引 1 户的成本从 0.74 升到 1.10，原因是补贴也支付给了没有补贴时也会购买的农户。

外推与区间宽度：s=50% 时 33% 农户的新净价格低于样本中最低的净价格（0.564），区间宽度约为 s=10% 时的 2.5 倍。外推越远，区间越宽。

局部均衡：标价、服务供给与质量保持不变。若补贴使标价上升或造成农忙时排队，上表会高估采纳率。

R 与 Python 的反事实点估计完全相同；区间因随机抽样略有差别（如 s=20% 时 R 为 [0.156, 0.214]）。

6A.10

蒙特卡洛检验

用已知真值重复生成 300 份 N=700 的数据，每份都重新估计。若估计量无偏、标准误正确，平均估计应接近真值，95% CI 覆盖真值的比例应接近 95%。

代码 STEP 7 输出
参数	真值	平均估计	偏差	估计的标准差	95% CI 覆盖率
常数	−0.80	−0.746	0.054	0.632	0.957
净价格	−1.40	−1.428	−0.028	0.342	0.963
ln(1+规模)	0.75	0.759	0.009	0.319	0.967
距离	−0.18	−0.182	−0.002	0.063	0.933
质量	0.90	0.833	−0.067	0.498	0.957

结果表明估计方法和程序是正确的。在单个样本中， α̂ = −1.795 偏离真值 0.4，约为抽样标准差（0.34）的 1.2 倍，属于正常抽样波动。质量系数的抽样标准差 0.50，说明在这一样本量下该系数的估计精度较低。

6A.11

结构估计与结构方程模型的区别

中文里两者都简称“结构”，但研究对象不同：结构估计从经济行为（效用、约束、均衡）出发，估计可用于反事实的行为参数；结构方程模型从潜变量（态度、意愿等不可直接测量的构念）出发，用多个问卷题项测量它们，再估计潜变量之间的路径。农业经济学文献中两种方法都很常见，详见模块 6B：结构方程模型。

6A.12

配套代码与运行方法

文件	内容	运行情况
`00_make_data.py`	生成 `data/mechanization_sim.csv`（与原脚本同一 DGP、同一 seed）	已运行
`01_structural_logit.py`	Python：手算、Newton、MLE 表、经济量、拟合、反事实区间、蒙特卡洛、内生性演示	已运行（numpy 2 / scipy 1.16 / statsmodels 0.14）
`02_structural_logit.R`	R：optim 手写似然 + glm 对照、AME、delta method、拟合、Krinsky–Robb	已运行（R 4.5.0）
`03_structural_logit.do`	Stata：logit、margins、nlcom、predictnl 反事实	未运行（无 Stata 环境，未经验证）

python 00_make_data.py          # 生成共用数据
python 01_structural_logit.py   # 依赖 numpy scipy pandas statsmodels
Rscript 02_structural_logit.R   # 依赖 MASS（R 自带）
stata -b do 03_structural_logit.do

Python .py R .R Stata .do 数据 .csv 配套幻灯片（25 页）

6A.13

习题

1. 为什么不能说“价格每升 1 单位，购买概率降 1.795”？

1.795 是效用差（以随机项尺度计）的变化；概率变化还要乘以 $P (1 - P)$ 。在本样本中平均只有 0.240。

2. 质量系数不显著，能否删掉它？

不能仅凭显著性删掉。真值是 0.90，不显著来自精度不足；若质量与价格相关，删掉它还会使价格系数产生遗漏变量偏误（见 6A.5 节）。

3. 补贴 20% 让采纳率从 0.128 升到 0.181，能直接写进政策建议吗？

只能表述为“在标价和供给不变、价格外生的条件下”的预测，并报告区间 [0.156, 0.212]；还应说明基准是“取消代金券”，以及供给反应可能使结果偏高。

6A.14

参考文献

McFadden, D. (1974). Conditional logit analysis of qualitative choice behavior. In P. Zarembka (Ed.), Frontiers in Econometrics (pp. 105–142). Academic Press.
Train, K. (2009). Discrete Choice Methods with Simulation (2nd ed.). Cambridge University Press. 第 3 章 logit。作者书页
Cameron, A. C., & Trivedi, P. K. (2005). Microeconometrics: Methods and Applications. Cambridge University Press. 第 14 章二元结果模型。
Wooldridge, J. M. (2010). Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data (2nd ed.). MIT Press. 第 13、15 章。
Krinsky, I., & Robb, A. L. (1986). On approximating the statistical properties of elasticities. Review of Economics and Statistics, 68(4), 715–719. doi:10.2307/1924536
Berry, S. T. (1994). Estimating discrete-choice models of product differentiation. RAND Journal of Economics, 25(2), 242–262. doi:10.2307/2555829
Low, H., & Meghir, C. (2017). The use of structural models in econometrics. Journal of Economic Perspectives, 31(2), 33–58. doi:10.1257/jep.31.2.33
Reiss, P. C., & Wolak, F. A. (2007). Structural econometric modeling: Rationales and examples from industrial organization. Handbook of Econometrics, Vol. 6A, 4277–4415. doi:10.1016/S1573-4412(07)06064-3
软件文档：SciPy optimize.minimize · statsmodels Logit · Stata logit · Stata margins