期望：长期平均位置
期望是随机变量分布的理论平均。样本均值是用有限数据估计这个理论对象。
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数学急救包
只补后面真正会用到的概念。每个对象都回答三个问题：它是什么、为什么需要、参数变化时图形或数据会怎样。
概率：不是“下一次会怎样”，而是重复中的规律
一枚公平硬币正面概率为 0.5，不代表每两次一定一正一反。它表示在大量可比重复中，正面比例会接近 0.5。结构模型把无法完全观察的偏好、冲击或信息写成随机变量，再由概率连接“模型”和“选择数据”。
互动实验 1
样本越大，频率越稳定
先抛 10 次，再连续抛 100 次。固定随机种子让刷新后结果可复现。
术语要准确：概率不等于观察到的样本频率；大数定律说明在条件成立时，样本频率会收敛到概率。
期望、方差和矩：给分布做“摘要”
方差：围绕均值的分散程度
方差是平方偏差的期望；标准差与原变量同单位，更容易解释。
协方差：两个变量一起变化
协方差为零不等于一般意义上的独立；独立通常是更强条件。
矩：一组可用于对账的特征
均值、方差、协方差都属于矩。GMM/SMM 会比较数据矩与模型矩，但矩必须与参数有识别关系。
分布：不只告诉你平均值，还告诉你各种结果有多可能
两个村庄的平均收入可以相同，但风险结构完全不同。分布描述所有可能结果及其概率。给随机项指定正态、极值或其他分布，会改变选择概率、尾部风险和估计结果，所以分布假设是模型的一部分。
若 ε ~ N(0, σ²)：均值是 0，方差是 σ²，标准差是 σ。
写成 N(0, σ) 会让读者不清楚第二个参数代表方差还是标准差。
写成 N(0, σ) 会让读者不清楚第二个参数代表方差还是标准差。
AR(1)：今天的状态会带到明天多少？
yₜ = ρyₜ₋₁ + εₜ， εₜ ~ N(0, σ²)， |ρ| < 1
- ρ：持久性。越接近 1，冲击消退越慢。
- σ：每一期新冲击的标准差。
- 长期波动：平稳 AR(1) 的标准差为 σ / √(1-ρ²)，所以 ρ 和 σ 都会影响波动。
互动实验 2
同时改变持久性与冲击大小
0.75
0.28
优化：估计通常就是寻找山顶或谷底
MLE 寻找似然最大的参数；GMM/SMM 寻找矩距离最小的参数。电脑通常从一个初值出发，根据局部信息移动，直到满足收敛条件。
互动实验 3
看算法从初值走到山顶
目标函数是 f(x)=-(x-2)²+5，最高点在 x=2。真实模型可能多峰、带边界或不光滑，因此必须检查多组初值和收敛诊断。
点击按钮开始。
研究代码的最低检查：不同初值、参数边界、目标函数值、梯度或步长、迭代次数、退出代码。看到“converged”不等于找到了全局最优。
进入估计方法前，你只需会解释这五句话
- 样本频率与理论概率不同，但大样本下可能收敛。
- 矩是分布的摘要，样本矩用来估计模型矩。
- 随机项的分布会决定选择概率，不是无关紧要的装饰。
- AR(1) 的 ρ 与 σ 都可能影响长期波动。
- 优化器只是在目标函数上搜索；识别问题不能靠更强优化器解决。