矩条件数等于参数个数
通常可以恰好解出参数，但个数相等并不保证参数被识别。
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估计方法：MLE、GMM、SMM 与间接推断
这四种方法有共同的结构：先规定用什么标准衡量模型与数据之间的差距，再寻找使差距最小的参数。它们的区别在于模型能够给出什么样的输出，以及用什么目标函数来度量差距。
估计的三个计算层次
结构估计包括三个计算步骤：给定参数求解模型、计算目标函数、搜索参数。在简单 logit 模型中，这三步由一条命令完成，不易区分；在复杂的结构模型中，它们通常分层进行：
给一组参数 θ候选参数值
解行为/均衡算选择概率、价值或市场份额
算目标函数似然、矩距离或辅助参数差
优化器换 θ重复直到目标不再改善
| 模型 | 内层在解什么 | 外层怎样估参数 |
|---|---|---|
| 静态 logit | 选择概率有解析解，无须单独求解 | MLE |
| BLP 随机系数需求 | 模拟份额并收缩反演平均效用 δ | IV/GMM |
| 动态离散选择 NFXP | 每组 θ 都解 Bellman 固定点 | MLE |
| 不完全信息进入博弈 | 解相互一致的进入概率固定点 | 伪似然、约束优化或其他方法 |
两层收敛：内层模型可能没有解准，而外层优化器仍报告成功；也可能内层求解准确，外层停在局部最优。程序应分别记录两层的容差、迭代次数和多初值结果。
四种方法的比较
| 模型能计算的对象 | 方法 | 比较的对象 | 估计准则 |
|---|---|---|---|
| 每个真实选择发生的概率 | MLE | 整份数据的似然 | 使观测数据出现的概率最大 |
| 理论正交条件 E[g(W,θ)]=0 | GMM | 样本矩离零多远 | 使样本矩尽量接近零 |
| 给定参数能模拟数据，但难写似然/理论矩 | SMM | 模拟矩与数据矩 | 使模拟矩尽量接近数据矩 |
| 复杂模型可模拟，且简单辅助模型能概括关键动态 | 间接推断 | 两份数据上的辅助模型参数 | 使两组辅助参数尽量接近 |
这四种方法之间没有高低之分。它们适用于不同的模型输出；估计的效率和稳健性取决于所选的矩、辅助模型、模拟误差和权重矩阵。
最大似然估计（MLE）
抛硬币 10 次，按顺序记录到 7 次正面、3 次反面。若正面概率为 p，这个特定序列的似然核是：
L(p) = p⁷(1-p)³， log L(p) = 7 log p + 3 log(1-p)
若只记录“7 正 3 反”而不管顺序，还要乘以组合数 C(10,7)。组合数与 p 无关，因此最大值点仍为 p=0.7，只是似然函数的数值不同。
实验 1
似然函数随 p 的变化
0.45
二元 logit 模型的似然函数是每个农户实际选择的概率之积（计算时取对数后相加），原理与上例相同。选择概率由效用函数与随机项的分布假设推导得到。
广义矩估计（GMM）
若模型在真参数 θ₀ 下推出工具变量 z 与结构误差 u(θ₀) 正交：
E[zᵢuᵢ(θ₀)] = 0
样本矩：ḡ(θ) = (1/N) Σ zᵢuᵢ(θ)
目标函数：Q(θ) = ḡ(θ)′ W ḡ(θ)
样本矩：ḡ(θ) = (1/N) Σ zᵢuᵢ(θ)
目标函数：Q(θ) = ḡ(θ)′ W ḡ(θ)
这里的正交指乘积的期望为零；只有当其中一个变量均值为零时，它才等价于相关系数为零。GMM 选择参数，使样本矩在权重矩阵 W 度量下尽量接近零。
矩条件数多于参数个数
一般无法使所有样本矩同时为零，需要权重矩阵。J 检验只检验全部矩条件是否联合成立，不能证明模型正确。
W 的选择
有效 GMM 以矩条件协方差矩阵的逆作为权重矩阵；但在有限样本、弱识别或矩条件过多时，可能出现较大偏差。
2SLS 是 GMM 的特例
线性 IV 的正交条件 E[z(y-xβ)]=0 可以放进 GMM 框架。
模拟矩估计（SMM）
当模型隐含的矩无法解析计算时，可以在给定 θ 下用模型模拟数据，分别从真实数据和模拟数据计算同一组矩，再最小化二者的距离：
m_data = 数据矩， m_sim(θ) = 模拟矩
Q(θ) = [m_data - m_sim(θ)]′ W [m_data - m_sim(θ)]
Q(θ) = [m_data - m_sim(θ)]′ W [m_data - m_sim(θ)]
下例用 AR(1) 序列的标准差和一阶自相关系数估计 ρ 与 σ。两个参数都会影响这两个矩，识别依赖于参数到矩的整个映射，而不是每个矩各对应一个参数。
实验 2
用 SMM 估计 AR(1) 参数
0.55
0.42
共同随机数：在不同候选参数下使用同一组模拟冲击，可以避免目标函数因模拟噪声而不规则跳动。实际研究中还应检查模拟次数对估计结果的影响。
间接推断
间接推断用一个容易估计的辅助模型（如回归或 VAR）概括数据特征。分别用真实数据和模拟数据估计辅助模型，选择结构参数使两组辅助参数尽量接近。辅助模型不必是正确的模型，但其参数必须对结构参数敏感，并能概括数据的主要特征。
辅助参数具有经济含义并不足以保证识别。若不同的结构参数生成几乎相同的辅助参数，结构参数就无法识别。
估计方法的选择
- 给定参数，模型能否算出观测数据的概率？能则先考虑 MLE。
- 理论是否给出可信的正交条件或工具变量？有则考虑 GMM。
- 模型能否稳定、快速地模拟数据？能而似然难写时考虑 SMM。
- 所选的矩或辅助模型是否对参数有识别作用，而不仅仅是改善拟合？
- 如何计算标准误，并把参数的不确定性传递到反事实结果？解析方法、数值导数、bootstrap 或模拟方法都应与估计程序相匹配。
无论采用哪种方法，都应报告：参数初值和边界、目标函数、优化算法、收敛标准、多初值结果、标准误、拟合/未用矩、模拟次数与随机种子。