结构估计入门 · 模块 6A、6B

logit 结构模型的推导与估计附：结构方程模型

以农户是否购买农机作业服务为例：模型设定、选择概率、似然函数、识别、估计结果的解释、反事实分析与蒙特卡洛检验

Xiaoshi Zhou · 中国农业大学经济管理学院 · 数值均为配套程序的输出 · 模拟数据

内容

本讲内容

经济含义

净收益与选择

选择概率

效用差与 logit 概率

似然函数

三户农户的数值算例

估计

Newton 迭代

识别

随机代金券的作用

估计结果

估计值、SE、CI、LR

经济量

AME、弹性、价格等价

拟合

分组比较

反事实

补贴效果及其区间

蒙特卡洛

估计量的偏差与覆盖率

数据说明：700 户模拟数据，代金券随机分配；“真值”为模拟时设定的参数，仅用于检验方法。

6A.1

模型的经济含义

可观测因素

价格、规模、距离、质量

由调查数据观测，构成净收益中可解释的部分

不可观测因素

偏好、农忙、与机手交情

研究者观测不到，视为随机项；可观测条件相同的两户可能作出不同选择

观测到的结果

是否购买

结构估计由选择结果推断净收益中各因素的权重

回归描述价格与购买之间的统计关系；结构模型还要设定农户按什么规则选择才会产生观测到的数据。设定了决策规则，才能计算未曾实施的政策下农户的选择。

6A.2

净收益的分解

Δ U_{i} = V_{i} β_{0} + α p_{i} + β ln (1 + land_{i}) + γ dist_{i} + δ qual_{i} + ε_{i}, 买 ⟺ Δ U_{i} > 0

参数

$α$ 价格敏感度（应为负）、 $β$ 规模收益、 $γ$ 距离成本、 $δ$ 质量偏好

状态变量与政策变量

净价格 $p_{i}$ （标价 × (1 − 代金券)）、规模、距离、质量

6A.2

随机项的分布与选择概率

P (买_{i} = 1) = P (ε_{i} > - V_{i}) = Λ (V_{i}) = \frac{1}{1 + e ^{- V_{i}}}

$ε_{i}$ 取标准 logistic 分布：等价于“买 / 不买”各带一个独立的 I 型极值误差，二者之差就是 logistic。

S 形曲线把任意 $V_{i}$ 映射到 0–1 之间：

$V = 0$ → 0.50
$V = - 1.5$ → 0.18
$V = + 1.5$ → 0.82

6A.2

两项归一化

位置不识别

给“买”和“不买”的效用同时加 10，选择不变。只能识别效用差：“不买”归一化为 0。

尺度不识别

所有效用乘以 2，排序不变。logit 固定 $Var (ε) = π^{2} /3$ ，所以 $α$ 的单位是“随机项标准差”。

因此：系数的比值（如

γ / α

）和概率才有不依赖尺度的含义；不宜直接比较不同数据集的 logit 系数。

6A.3

似然函数的数值算例

ℓ (θ) = i \sum [y_{i} ln Λ (V_{i}) + (1 - y_{i}) ln (1 - Λ (V_{i}))]

农户	y	θ_A=0：V	P(买)	贡献	θ_B=真值：V	P(买)	贡献
1	0	0.000	0.500	−0.693	−1.251	0.222	−0.252
2	0	0.000	0.500	−0.693	−0.957	0.277	−0.325
3	0	0.000	0.500	−0.693	−1.570	0.172	−0.189
三户合计		−2.079			−0.766
全样本 700 户		−485.203			−300.946

第 1 户： $P = 1/ (1 + e^{1.251}) = 0.222$ ；没买 → $ln (1 - 0.222) = - 0.252$ 。预测与观测结果越一致，对数似然贡献的绝对值越小。

6A.4

Newton 迭代

s (θ) = i \sum (y_{i} - Λ (V_{i})) x_{i}, H (θ) = - i \sum Λ_{i} (1 - Λ_{i}) x_{i} x_{i}^{'}, θ^{(k + 1)} = θ^{(k)} + [- H]^{- 1} s

迭代	1	2	3	4	5	6
ℓ(θ)	−309.320	−299.431	−298.934	−298.932	−298.932	−298.932
max\|Δθ\|	0.885	0.665	0.227	0.017	7.9e−5	1.7e−9

score 的含义

预测误差 $y_{i} - P_{i}$ × 特征。高价农户买得比预测多 → 推动 $α$ 变得不那么负。

收敛速度

logit 的对数似然函数是凹函数，最大值唯一；复杂结构模型可能有多个局部极值，需用多组初值。

6A.5

价格系数的识别：随机代金券

服务质量高的机手要价也高，而研究者观测不到服务质量 $ξ$ ，因此高价与高需求同时出现。随机代金券使标价相同的农户面对不同的净价格。

另一份模拟数据（N = 5000，价格与 ξ 正相关），真 α = −1.40
估计方式	α̂	说明
只含净价格的 logit	+0.462	符号为正，与需求规律相反
控制标价，只利用代金券造成的净价格差异	−1.355（SE 0.199）	与真值相差不到一个 SE
把 ξ 作为解释变量（不可行估计）	−1.470	ξ 实际不可观测，仅作对照

识别与数值优化：第一行的估计同样收敛，SE 也小，但估计值有严重偏误。识别问题不能通过数值优化解决。

6A.6

最大似然估计结果

参数	估计值	SE	z	p	95% CI	真值
常数 β₀	0.100	0.604	0.17	0.868	[−1.083, 1.283]	−0.80
净价格 α	−1.795	0.382	−4.70	<0.001	[−2.544, −1.045]	−1.40
ln(1+规模) β	0.822	0.329	2.50	0.013	[0.177, 1.467]	0.75
距离 γ	−0.256	0.062	−4.12	<0.001	[−0.378, −0.134]	−0.18
质量 δ	0.393	0.511	0.77	0.441	[−0.608, 1.394]	0.90

ℓ(θ̂) = −298.932；仅截距 ℓ₀ = −323.832；LR = 49.80（df = 4，p ≈ 4×10⁻¹⁰）；McFadden 伪 R² = 0.077

6A.6

估计结果的解释

估计值

α = −1.795：净价格提高 1 单位，效用差下降 1.795（以随机项尺度计），而不是购买概率下降 1.795。

标准误

$[- H (\hat{θ})]^{- 1}$ 对角线元素的平方根。五个真值都在 95% CI 内。

不显著与无影响

质量的真值为 0.90，但购买率仅 17%、质量变化幅度小，700 户不足以将其与 0 区分。这是精度问题。

伪 R²

0.077 在离散选择模型中是常见的数值，它不是拟合检验。应看 LR 检验和分组拟合。

6A.7

经济量的计算

AME_{p} = \frac{1}{N} \sum_{i} \overset{α}{^} \hat{P}_{i} (1 - \hat{P}_{i}), 弹性_{i} = \overset{α}{^} p_{i} (1 - \hat{P}_{i}), 价格等价 = \overset{γ}{^} / \overset{α}{^}

经济量	数值	含义
净价格平均边际效应	−0.240	净价格 +0.1 单位 → 购买概率平均约 −2.4 个百分点
平均价格弹性	−1.646	净价格 +1% → 购买概率约 −1.6%
距离的价格等价 γ/α	0.143（SE 0.045）	距离增加 1 公里相当于价格上涨 0.143 单位；与尺度无关
胜算比	0.836	净价格 +0.1 单位，购买胜算 × exp(0.1α)

价格单位沿用模拟数据的设定（标价 0.8–1.8），实际研究应使用“元/亩”等明确单位。SE 用 delta method。

6A.8

模型拟合

按净价格四分位
组	观测	预测
Q1 最便宜	0.274	0.272
Q2	0.177	0.190
Q3	0.171	0.153
Q4 最贵	0.074	0.083

按距离三等分
组	观测	预测
近	0.235	0.250
中	0.185	0.168
远	0.103	0.105

logit 带常数项时，总体预测采纳率必然等于观测值（都是 0.174），报告总体平均值没有意义。应进行分组比较、留出样本检验或用实验组作样本外预测。

6A.9

反事实分析：以普惠价格补贴 s 替代代金券

\hat{P}_{i} (s) = Λ (\hat{β}_{0} + \overset{α}{^} 标价_{i} (1 - s) + \dots)

s	采纳率	95% 区间	每户成本	每新增 1 户成本
0%	0.128	[0.106, 0.160]	0.000	—
10%	0.153	[0.130, 0.183]	0.018	0.741
20%	0.181	[0.156, 0.212]	0.043	0.822
30%	0.214	[0.182, 0.252]	0.078	0.910
50%	0.293	[0.233, 0.363]	0.182	1.104

区间：2000 次 Krinsky–Robb 参数抽样

6A.9

反事实结果的解释

基准

s = 0 是“取消代金券”，采纳率 0.128；现状（一半农户持 30% 券）是 0.174。

边际成本递增

每多吸引 1 户：0.74 → 1.10。原因是补贴也支付给了没有补贴时也会购买的农户。

外推与区间宽度

s = 50% 时区间宽 0.130，是 s = 10% 的约 2.5 倍；33% 农户的新净价格低于样本中最低的净价格 0.564。

局部均衡

标价、供给、质量不变。若补贴使标价上升或造成农忙时排队，表中采纳率偏高。

6A.10

蒙特卡洛检验：300 份模拟样本

参数	真值	平均估计	偏差	估计的标准差	95% CI 覆盖率
常数	−0.80	−0.746	0.054	0.632	0.957
净价格	−1.40	−1.428	−0.028	0.342	0.963
ln(1+规模)	0.75	0.759	0.009	0.319	0.967
距离	−0.18	−0.182	−0.002	0.063	0.933
质量	0.90	0.833	−0.067	0.498	0.957

结论：估计方法和程序正确。单个样本中 α̂ = −1.795 与真值相差约 1.2 个抽样标准差，属于正常的抽样波动。估计真实数据之前应先做这一检验；若估计值不接近真值，应先检查程序或识别条件。

第二部分

结构方程模型（SEM）

6B.1

结构估计与结构方程模型的比较

	结构估计	结构方程模型 SEM
出发点	经济行为：效用、约束、均衡	测量：多个题项反映一个潜变量
参数	价格敏感度、成本、贴现率	因子载荷、潜变量路径、误差方差
拟合的对象	选择概率（MLE）、矩（GMM/SMM）	样本协方差 $S$ vs 模型隐含 $Σ (θ)$
识别来源	外生价格变化、实验、排除性限制	矩与参数计数、载荷归一化、“无路径”限制
典型用途	未实施政策的反事实	验证量表、检验 TPB 等理论路径
最常见误用	反事实超出数据支持	把截面路径系数读成因果

6B.2

模型设定与自由度

x = Λ η + ε, η = B η + ζ \Rightarrow Σ (θ) = Λ (I - B)^{- 1} Ψ (I - B)^{- 1'} Λ^{'} + Θ_{ε}

F_{M L} = ln ∣Σ (θ) ∣ + tr (S Σ (θ)^{- 1}) - ln ∣ S ∣ - p, χ^{2} = (N - 1) F_{M L} (\hat{θ})

模型	题项	样本矩 p(p+1)/2	自由参数	df
Holzinger–Swineford 三因子 CFA	9	45	6 载荷 + 9 误差 + 6 因子方差/协方差 = 21	24
TPB：ATT、SN、PBC → INT	12	78	8 载荷 + 12 误差 + 6 外生方差/协方差 + 3 路径 + 1 扰动 = 30	48

6B.3

Holzinger & Swineford（1939），N = 301：拟合指标

指标	lavaan 0.6-19	semopy 2.3.11	参考（Hu & Bentler 1999）	解释
χ²（df）	85.306（24）	85.306（24）	p 不显著	p < 0.001，但 χ² 对 N 敏感
CFI / TLI	0.931 / 0.896	0.931 / 0.896	≥ 0.95	未达严格标准
RMSEA [90% CI]	0.092 [0.071, 0.114]	0.092	≤ 0.06	整个置信区间高于 0.06
SRMR	0.065	—	≤ 0.08	可以接受

最大修正指数：视觉 → x9（MI = 36.4），加上后 CFI 0.967、RMSEA 0.065。只有在理论上有依据时才可加入，否则会使模型拟合样本中的随机误差（MacCallum 等，1992）。

6B.4

农户托管意愿的计划行为理论模型（模拟数据）

标准化路径（N = 500，模拟数据）
路径	真值	lavaan	semopy
ATT → INT	0.434	0.426	0.426
SN → INT	0.193	0.201	0.201
PBC → INT	0.289	0.229	0.229
INT 的 R²	0.490	0.468

测量质量
	CR ≥ 0.7	AVE ≥ 0.5
ATT	0.776	0.537
SN	0.762	0.516
PBC	0.799	0.571
INT	0.859	0.671

χ²(48) = 44.369，p = 0.622；RMSEA = 0.000；SRMR = 0.022；CFI：lavaan 截断为 1.000，semopy 报告 1.002。截面问卷数据中的路径系数是条件相关，不能直接解释为因果效应。

程序

配套程序

文件	内容	运行情况
`00_make_data.py`	生成 mechanization_sim.csv（与模块 6 的程序使用相同的 DGP 和随机数种子）	已运行
`01_structural_logit.py`	手算、Newton、MLE、经济量、拟合、反事实区间、蒙特卡洛、内生性演示	已运行
`02_structural_logit.R`	optim 手写似然 + glm 对照、delta method、Krinsky–Robb	已运行（R 4.5.0）
`03_structural_logit.do`	Stata：logit、margins、nlcom、predictnl	未运行（无 Stata）
`04_sem_lavaan.R`	HS 1939 CFA、修正指数、TPB 模拟 SEM、CR/AVE	已运行（lavaan 0.6-19）
`05_sem_semopy.py`	同两份数据的 semopy 估计，对照 lavaan	已运行（semopy 2.3.11）

习题

1. 为什么不能说“价格每升 1 单位，购买概率降 1.795”？

1.795 是效用差的变化；概率变化还要乘 $P (1 - P)$ ，本样本平均仅 0.240。

2. 质量系数不显著，能否删掉它？

不能只看显著性：真值 0.90，不显著是精度不足；若质量与价格相关，删掉还会造成遗漏变量偏误。

3. “补贴 20% 让采纳率从 0.128 升到 0.181”能直接写进政策建议吗？

只能写成“标价与供给不变、价格外生时”的预测，报告区间 [0.156, 0.212]，并说明基准是取消代金券。

参考文献

McFadden, D. (1974). Conditional logit analysis of qualitative choice behavior. In P. Zarembka (Ed.), Frontiers in Econometrics, 105–142. Academic Press.
Train, K. (2009). Discrete Choice Methods with Simulation (2nd ed.). Cambridge University Press. eml.berkeley.edu/books/choice2.html
Cameron, A. C., & Trivedi, P. K. (2005). Microeconometrics: Methods and Applications. Cambridge University Press.
Wooldridge, J. M. (2010). Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data (2nd ed.). MIT Press.
Krinsky, I., & Robb, A. L. (1986). Review of Economics and Statistics, 68(4), 715–719. doi:10.2307/1924536
Berry, S. T. (1994). RAND Journal of Economics, 25(2), 242–262. doi:10.2307/2555829
Low, H., & Meghir, C. (2017). Journal of Economic Perspectives, 31(2), 33–58. doi:10.1257/jep.31.2.33
Reiss, P. C., & Wolak, F. A. (2007). Handbook of Econometrics, Vol. 6A, 4277–4415. doi:10.1016/S1573-4412(07)06064-3
Holzinger, K. J., & Swineford, F. (1939). A Study in Factor Analysis. Supplementary Educational Monographs No. 48, University of Chicago.
Bollen, K. A. (1989). Structural Equations with Latent Variables. Wiley. doi:10.1002/9781118619179
Kline, R. B. (2023). Principles and Practice of Structural Equation Modeling (5th ed.). Guilford.
Rosseel, Y. (2012). lavaan. Journal of Statistical Software, 48(2). doi:10.18637/jss.v048.i02
Igolkina, A. A., & Meshcheryakov, G. (2020). semopy. Structural Equation Modeling, 27(6), 952–963. doi:10.1080/10705511.2019.1704289
Ajzen, I. (1991). OBHDP, 50(2), 179–211. doi:10.1016/0749-5978(91)90020-T
Hu, L., & Bentler, P. M. (1999). Structural Equation Modeling, 6(1), 1–55. doi:10.1080/10705519909540118
MacCallum, R. C., Roznowski, M., & Necowitz, L. B. (1992). Psychological Bulletin, 111(3), 490–504. doi:10.1037/0033-2909.111.3.490
Anderson, J. C., & Gerbing, D. W. (1988). Psychological Bulletin, 103(3), 411–423. doi:10.1037/0033-2909.103.3.411
温忠麟、侯杰泰、马什赫伯特（2004）。结构方程模型检验：拟合指数与卡方准则。《心理学报》36(2)：186–194。

结构估计入门

谢谢

对应章节：结构估计入门 · 模块 6A、6B